Maxwell's equations

詹姆斯·麦克斯韦

麦克斯韦方程组（英语：Maxwell's equations）是一组描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间关系的偏微分方程。该方程组由四个方程组成，分别是描述电荷如何产生电场的高斯定律、表明磁单极子不存在的高斯磁定律、解释时变磁场如何产生电场的法拉第感应定律，以及说明电流和时变电场怎样产生磁场的麦克斯韦-安培定律。麦克斯韦方程组是因英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦而命名。麦克斯韦在19世纪60年代构想出这方程组的早期形式。

在不同的领域会使用到不同形式的麦克斯韦方程组。例如，在高能物理学与引力物理学里，通常会用到时空表述的麦克斯韦方程组版本。这种表述建立于结合时间与空间在一起的爱因斯坦时空概念，而不是三维空间与第四维时间各自独立展现的牛顿绝对时空概念。爱因斯坦的时空表述明显地符合狭义相对论与广义相对论。在量子力学里，基于电势与磁势的麦克斯韦方程组版本比较获人们青睐。

自从20世纪中期以来，物理学者已明白麦克斯韦方程组不是精确规律，精确的描述需要借助更能显示背后物理基础的量子电动力学理论，而麦克斯韦方程组只是它的一种经典场论近似。尽管如此，对于大多数日常生活中涉及的案例，通过麦克斯韦方程组计算获得的解答跟精确解答的分歧甚为微小。而对于非经典光、双光子散射、量子光学与许多其它与光子或虚光子相关的现象，麦克斯韦方程组不能给出接近实际情况的解答。

从麦克斯韦方程组，可以推论出光波是电磁波。麦克斯韦方程组和洛伦兹力方程是经典电磁学的基础方程。得益于这一组基础方程以及相关理论，许多现代的电力科技与电子科技得以被发明并快速发展。

概论

麦克斯韦方程组是由四个一阶线性偏微分方程共同组成。虽然一阶与线性都是良好的数学性质，除了具有高度对称性的案例以外，通常找不到它的解析解，因此必须使用数值方法来找到它的数值解。但由于电动力学是一种线性理论，可以利用叠加原理来求解。

高斯定律

高斯定律描述电场是怎样由电荷生成。电场线开始于正电荷，终止于负电荷。从估算穿过某给定闭曲面的电场线数量，即电通量，可以得知包含在这闭曲面内的总电荷。更详细地说，该定律描述穿过任意闭曲面的电通量与这闭曲面内的电荷数量之间的关系。

高斯磁定律

高斯磁定律表明，磁单极子（磁荷）并不存在于宇宙。在实验方面，物理学者迄今仍尚未发现磁单极子存在的明确证据。[8]由物质产生的磁场是被一种称为偶极子的位形所生成。磁偶极子最好是用电流回路来表示。磁偶极子好似不可分割地被束缚在一起的正磁荷和负磁荷，其净磁荷为零。磁场线没有初始点，也没有终止点。磁场线会形成循环或延伸至无穷远。换句话说，进入任何区域的磁场线，也必须从那区域离开。以术语来说，通过任意闭曲面的磁通量等于零，磁场是一个螺线矢量场。

部分学者认为这个定律没有名字或称之为无自由磁单极子定律。

法拉第感应定律

法拉第感应定律描述时变磁场怎样感应出电场。电磁感应是许多发电机的运作原理。例如，一块旋转的条形磁铁会产生时变磁场，这又会生成电场，使得邻近的闭循环因而感应出电流。

麦克斯韦-安培定律

麦克斯韦-安培定律阐明，磁场可以用两种方法生成：一种是靠电流（最初安培定律描述的方法）产生，另一种是靠随时间变化的电场（麦克斯韦修正项描述的方法）产生。在电磁学里，麦克斯韦修正项意味着时变电场可以生成磁场，而由于法拉第感应定律，时变磁场又可以生成电场。这样，如果时变电场恰好产生了变化的磁场，则根据这两个方程，这种相互产生的电场和磁场（即电磁波）将可以自我持续在空间里传播（更详尽内容，请参阅条目电磁波方程）。

方程组汇览

这里展示出麦克斯韦方程组的两种等价表述：微观表述与宏观表述。

微观表述专门计算在真空里原子尺度的有限源电荷与有限源电流所产生的电场与磁场。物质可以视为由点电子与点原子核所组成，而内部其它大部分空间都是真空。但是，由于电子与原子核的数量很大，实际而言，无法一一纳入计算。事实上，经典电磁学也不需要过度精确的答案。使用微观麦克斯韦方程组有两个主要目的，一是推导出宏观麦克斯韦方程组，二是从原子性质估算出宏观物质参数，例如电容率、磁导率等等。微观表述可以给出很多宏观表述所无法给出的极具价值的信息。

宏观表述不将物质内部的原子结构纳入考量，而是将物质视为一种连续性介质，其性质决定于电容率、磁导率等等宏观物质参数。从做实验可以获得宏观物质参数与物质的本质、密度、温度等等的关系。宏观麦克斯韦方程组可以用来预测带电粒子、电场与磁场的平均性质。采用这种表述会使得在介电质或磁化物质内各种物理计算更加简易。

采用不同的单位制，麦克斯韦方程组的形式会稍微有所改变，大致形式仍旧相同，只是不同的常数会出现在方程内部不同位置。国际单位制(SI)是最常使用的单位制，在工程学、化学领域大多都采用这种单位制，大学物理教科书也几乎都使用这种单位制。其它常用的单位制有高斯单位制、洛伦兹-亥维赛单位制和普朗克单位制。由厘米-克-秒制衍生的高斯单位制，比较适合于教学用途，能够使得方程看起来更简单、更易懂。稍后会详细阐述高斯单位制。洛伦兹-亥维赛单位制也是衍生于厘米-克-秒制，主要用于粒子物理学。普朗克单位制是一种自然单位制，其单位都是根据大自然的性质定义，不是由人为设定。普朗克单位制是研究理论物理学非常有用的工具，能够在理论论述里给出很大的启示。 在本条目里，除非特别指出，所有方程都采用国际单位制。

在真空里的麦克斯韦方程组

这种形式的麦克斯韦方程组又称为“微观麦克斯韦方程组”，可以用来推导出宏观麦克斯韦方程组，也可以用来找出原子性质与宏观性质两者之间的关联。

在物质里的麦克斯韦方程组

这种形式的麦克斯韦方程组又称为“宏观麦克斯韦方程组”，特别适用于描述在物质里的电磁性质，稍后会有更详细论述。

麦克斯韦方程组术语符号表格

以下表格给出每一个符号所代表的物理意义，和其单位：

物理意义和单位

符号	物理意义	国际单位模板:Rp
<math>\mathbf{E} \ </math>	电场	伏特／公尺、牛顿／库仑
<math>\mathbf{B} \ </math>	磁场	特斯拉、韦伯／公尺2、伏特·秒／公尺2
<math>\mathbf{D} \ </math>	电位移	库仑／公尺2、牛顿／伏特·公尺
<math>\mathbf{H} \ </math>	H场	安培／公尺
<math>\mathbf{\nabla \cdot}</math>	散度算符	／公尺
<math>\mathbf{\nabla \times}</math>	旋度算符
<math>\frac {\partial}{\partial t}</math>	对于时间的偏导数	／秒
<math>\mathbb{S}</math>	曲面积分的运算曲面	公尺2
<math>\mathbb{L}</math>	路径积分的运算路径	公尺
<math>\mathrm{d}\mathbf{s}</math>	微小面元素矢量	公尺2
<math> \mathrm{d} \boldsymbol{\ell} </math>	微小线元素矢量	公尺
<math>\varepsilon_0 \ </math>	电常数	法拉／公尺
<math>\mu_0 \ </math>	磁常数	亨利／公尺、牛顿／安培2
<math>\ \rho_f \ </math>	自由电荷密度	库仑／公尺3
<math>\ \rho \ </math>	总电荷密度	库仑／公尺3
<math>Q_f</math>	在闭曲面<math>\mathbb{S}</math>里面的自由电荷	库仑
<math>Q</math>	在闭曲面<math>\mathbb{S}</math>里面的总电荷	库仑
<math>\mathbf{J}_f</math>	自由电流密度	安培／公尺2
<math>\mathbf{J}</math>	总电流密度	安培／公尺2
<math>I_f</math>	穿过闭路径<math>\mathbb{L}</math>所包围的曲面的自由电流	安培
<math>I</math>	穿过闭路径<math>\mathbb{L}</math>所包围的曲面的总电流	安培
<math>\Phi_{B}</math>	穿过闭路径<math>\mathbb{L}</math>所包围的曲面<math>\mathbb{S}</math>的磁通量	特斯拉·公尺2、伏特·秒，韦伯
<math>\Phi_{E}</math>	穿过闭路径<math>\mathbb{L}</math>所包围的曲面<math>\mathbb{S}</math>的电通量	焦耳·公尺/库仑
<math>\Phi_{D}</math>	穿过闭路径<math>\mathbb{L}</math>所包围的曲面<math>\mathbb{S}</math>的电位移通量	库仑