三角函数

三角函数： 正弦、 余弦、 正切、 余割（链线）、 正割（链线）、 余切（链线）

三角函数

三角函数（英语：Trigonometric functions）是数学中常见的一类关于角度的函数。三角函数将直角三角形的内角和它的两个边的比值相关联，也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究振动、波、天体运动以及各种周期性现象的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。

常见的三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan或者tg）；在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数（cot或者ctg）、正割函数（sec）、余割函数（csc ）、正矢函数、半正矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。

三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数，叫做双曲函数。常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。

几何定义

直角三角形中的定义

a, b, h分别为角A的对边、邻边和斜边

在直角三角形中仅有锐角（大小在0到90度之间的角）三角函数的定义。给定一个锐角θ，可以做出一个直角三角形，使得其中的一个内角是θ。设这个三角形中，θ的对边、邻边和斜边长度分别是a, b, h，那么

• θ的正弦是对边与斜边的比值：sinθ=a/h

• θ的余弦是邻边与斜边的比值：cosθ=b/h

• θ的正切是对边与邻边的比值：tanθ=a/b

• θ的余切是邻边与对边的比值：cotθ=b/a

• θ的正割是斜边与邻边的比值：secθ=h/b

• θ的余割是斜边与对边的比值：cscθ=h/a

直角坐标系中的定义

设P(x,y)是平面直角坐标系xOy中的一个点，详细如右图（或上图）所示。则θ的六个三角函数定义为:

正弦	余弦	正切	余切	正割	余割
sinθ =y/r	cosθ =x/r	tanθ =y/x	cotθ =x/y	secθ =r/x	cscθ =r/y

这样可以对0到360度的角度定义三角函数。要注意的是以上的定义都只在定义式有意义的时候成立。比如说当x=0 的时候，y/x和r/x都没有意义，这说明对于90度角和270度角，正切和正割没有定义。同样地，对于0度角和180度角，余切和余割没有定义。

单位圆定义

三角函数也可以依据直角坐标系xOy中半径为1，圆心为原点O的单位圆来定义。设最终点A转到的位置为P(x,y)，那么：

正弦	余弦	正切	余切	正割	余割
sinθ = y	cosθ = x	tanθ = y/x	cotθ = x/y	secθ = 1/x	cscθ = 1/y

用单位圆定义三角函数

这个定义和坐标系的定义类似，但角度θ可以是任何的数值。对于大于360°或小于-360°的角度，可以认为是逆时针（顺时针）旋转了不止一圈。而多转或少转了整数圈不会影响三角函数的取值。如果按弧度制的方式记录角度，将弧长作为三角函数的输入值(360°等于2π)，那么三角函数就是取值为全体实数R，周期为2π的周期函数。

周期函数的最小正周期叫做这个函数的基本周期。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是2π弧度或360°；正切或余切的基本周期是π弧度或180°。

基本性质

从几何定义中可以推导出很多三角函数的性质。比如说，正弦函数、正切函数、余切函数和余割函数是奇函数，余弦函数和正割函数是偶函数。正弦和余弦函数的图像形状一样（见右图或上图），可以看作是沿坐标横轴平移得到的两个函数。正弦和余弦函数关于x=π/4轴对称。正切函数和余切函数、正割函数和余割函数也分别如此。

三角恒等式

不同的三角函数之间存在很多对任意的角度取值都成立的等式，被称为三角恒等式。其中最著名的是毕达哥拉斯恒等式，它说明对于任何角，正弦的平方加上余弦的平方总是1。这可从斜边为1的直角三角形应用勾股定理得出。用符号形式表示，毕达哥拉斯恒等式为：

Sin²x+Cos²x=1

因此可推导出:

tan²x+1=sec²x

1+cot²x=csc²x

当两个角相同的时候，和角公式简化为更简单的等式，称为二倍角公式（或倍角公式）。

这些等式还可以用来推导积化和差恒等式，以前曾用它把两个数的积变换成两个数的和而像对数那样使运算更加快速。（利用制好的三角函数表）